Noter i statistik

Et eksempel på en hypotesetest

Da teorien bag statistiske hypotesetest - som gennemgået på side 6.3 - er relativt abstrakt, indledes her med et eksempel. Eksemplet er valgt, så det er så let forståeligt som muligt, hvilket betyder at den kliniske relevans er ikke-eksisterende.

En falsk mønt?

En mønt har som bekendt to sider - plat og krone. Når man kaster mønten op i luften, skal der helst være præcist 50% chance for at den lander på krone, og 50% chance for at den lander på plat.

Men hvordan skal man nu afgøre om en konkret mønt faktisk lever op til dette, eller om mønten er ændret, så den f.eks. giver krone i de fleste tilfælde? Man kan jo åbenlyst ikke bare kaste mønten to gange, og så forvente at man får krone 1 gang og plat 1 gang.

Løsningen ligger naturligvis i at foretage mange kast med mønten, og så analysere resultatet på passende vis.

Man udfører derfor et eksperiment, hvor man kaster mønten 10 gange og registrerer udfaldet. Dette giver plat 9 gange og krone 1 gange. Det er klart at jo større forskellen er mellem antallet af plat og krone, jo større er sandsynligheden for at mønten er forfalsket; men hvor præcist skal man sætte grænsen?

Hvis mønten faktisk er ægte, så er der naturligvis ingen som vil undre sig over at man får f.eks. krone 6 gange og plat 4 gange. En sådan fordeling vil tit forekomme hvis man kaster med en ægte mønt. På den anden side vil man nok undre sig lidt, hvis man får krone 10 gange og plat 0 gange. Det er selvfølgelig ikke umuligt, men næppe særligt sandsynligt at det sker med en ægte mønt, hvorfor man vil være tilbøjelig til at tro at mønten er falsk.

Når man ud fra ovenstående forsøg skal afgøre om mønten må antages at være ægte eller uægte, gøres det således ved følgende procedure:

  1. Antag at mønten er ægte, dvs. sandsynligheden for at få krone i et tilfældigt kast er 0,5 (50%).
  2. Beregn sandsynligheden for at eksperimentet giver et udfald, som i samme eller højere grad end det aktuelle eksperiment, taler imod denne antagelse. En lidt anden formulering af dette kryptiske udsagn er: Beregn sandsynligheden for at få enten plat eller krone i mindst 9 ud af de 10 kast. Dette er jo netop alle de udfald som i højere grad end det aktuelle, taler imod at mønten er ægte. Denne beregning skal foretages under antagelsen i punkt 1. Det er ikke en del af pensum at kunne foretage denne beregning, men svaret er 0,02 eller 2%. Dvs. at hvis man kaster 10 gange med en ægte mønt, så vil man kun i 2% af tilfældene se at man får krone eller plat i mindst 9 ud af de 10 kast.
  3. Der er nu to mulige konklusioner:
    1. Man har været "uheldig" og ramt de 2% af tilfældene hvor man faktisk får krone 9 gange.
    2. Antagelsen om at mønten er ægte - som jo blev brugt til at beregne sandsynligheden - må være forkert.
    Dilemmaet i den statistiske hypotesetest er at man aldrig kan afgøre hvilke af de to konklusioner der er rigtig. Man er nødt til at "gætte". Inden for den medicinske verden bruger man normalt en sandsynlighed på 5% som grænse for hvornår man tror på den ene eller den anden konklusion. Dvs. at hvis ovennævnte sandsynlighed er under 5% så tror man ikke på forklaringen om "uheld", men vælger i stedet at tro at mønten er uægte.

I dette tilfælde må man altså konkludere at mønten er uægte. Havde man i stedet fået krone 8 gange og plat 2 gange, så var sandsynligheden blevet næsten 11% og man havde således ikke kunnet konkludere at der var noget galt med mønten.

Man kan tage fejl!

I ovenstående eksempel er der to muligheder for at træffe en forkert konklusion. Hvis mønten er ægte, er det jo stadig muligt at få plat eller krone i mindst 9 ud af 10 tilfælde, hvorved ovenstående procedure leder til den forkert konklusion. Omendt kan man selvfølgelig også sagtens få plat eller krone i f.eks. 7 eller 8 ud af 10 kast med en falsk mønt; og i så fald vil ovenstående procedure jo også lede til den forkerte konklusion at mønten er ægte. Disse fejlmuligheder bliver diskuteret nærmere på side 6.4.

 

© Thomas Bendsen • 2009 - 2017 • VIA University College Bioanalytikeruddannelsen