Beregning i normalfordelingen
Overordnet har man i statistik brug for at kunne beregne enten sandsynligheder eller fraktiler (genlæs eventuelt side 3.3). Hvis man ved at populationen er normalfordelt, er dette relativt simpelt, og gennemgås nedenfor vha. et par eksempler.
Bemærk: Metoden gennemgået på denne side er delvis historisk - dvs. den var relevant da beregningerne skulle foretages vha. tabelopslag. I dag er det væsentlig hurtigere at anvende en computer (se Excel-formler på side 13.6). Alligevel kan nedenstående give en relevant forståelse af nogle af normalfordelingens egenskaber.
Beregning af fraktiler
Betragt B-hæmoglobin, stofk. hos raske mænd. Denne parameter er normalfordelt med middelværdi \(\mu=9{,}25 \text{ mmol/L}\) og spredning \(\sigma=0{,}6\text{ mmol/L}\). Man ønsker nu at bestemme den hæmoglobinkoncentration som er kendetegnet ved at 2,5% af alle raske mænd har en værdi der er lavere - eller med andre ord: 0,025-fraktilen.
Den normerede normalfordeling
Opgaven løses enten ved tabelopslag eller ved beregning i f.eks. Excel (hvilket nok er det enkleste). Ved tabelopslag findes der (selvfølgelig) ikke tabeller over alle normalfordelinger, men kun over normalfordelingen med middelværdi 0 og spredning 1. Dette er den såkaldt normerede normalfordeling. Hvis man har en tabel over normalfordelingen vil man kunne finde ud af at 0,025-fraktilen er \(u = -1{,}96\).
 |
 |
| Den normerede normalfordeling |
Hæmoglobinkoncentrationen hos raske mænd |
| De tynde lodrette blå streger repræsenterer 0,025-fraktilerne i begge fordelinger. Oversættelsen fra den ene fordelingen til den anden foregår vha. formlen \(x=\mu+u\cdot\sigma\), hvor \(x\) er fraktilen i hæmoglobinfordelingen, mens \(u\) er fraktilen i den normerede normalfordeling |
Fraktilen i den normerede normalfordeling (\(u\)) kan nu omregnes til den tilsvarende 0,025-fraktil i hæmoglobinfordelingen vha. formlen:
\[\begin{aligned}
x &=\mu+u\cdot \sigma \\
&=9{,}25 \text{ mmol/L}-1{,}96\cdot 0{,}6 \text{ mmol/L}\\
&=8{,}1 \text{ mmol/L}
\end{aligned}\]
dvs at 2,5% af alle raske mænd har en hæmoglobinkoncentration som er under 8,1 mmol/L. Alternativt kan fraktilen beregnes som vist på side 13.6 under "fraktil".
Beregning af sandsynligheder
Hvis man skal beregne en sandsynlighed - f.eks. sandsynligheden for at en tilfældig rask mand har en B-hæmoglobin, stofk. under 9,50 mmol/L - så er fremgangsmåden lige modsat af fraktil-beregningen.
Bruger man en tabel over normalfordelingen, skal problemet først oversættes til at bestemme en sandsynlighed i den normerede normalfordeling, dvs. man skal finde den fraktil (\(u\)) i den normerede normalfordeling som svarer til 9,50 mmol/L i den interessante fordeling. Dette gøres blot ved at isolere \(u\) i den formel der blev anvendt ovenfor, dvs:
\[\begin{aligned}
u &=\frac{x-\mu}{\sigma}\\
&=\frac{9{,}50 \text{ mmol/L}-9{,}25\text{ mmol/L}}{0{,}6 \text{ mmol/L}}\\
&=0{,}42
\end{aligned}\]
Herefter kan man nu slå sandsynligheden op i en tabel over sandsynligheder i normalfordeling, ved at slå op under den beregnede værdi for \(u\). Derved får man at:
$$P(X<9{,}50\text{ mmol/L}) = \Phi(0{,}42) = 0{,}6628 = 66{,}28\%$$
Bemærk notationen \("\Phi(0{,}42)"\). Dette er en speciel notation som nogen gange anvendes som forkortelse for \("P(X < 0{,}42)"\) når beregningen skal foretages i den normerede normalfordeling.
Alternativt så kan beregningen foretages i Excel som vist på side 13.6 under "sandsynlighed". |